已知函數(shù)f(x)=x-ax2-lnx(a>0).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為-2,求a的值以及切線方程;
(2)若f(x)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
解:(1)f′(x)=1-2ax-
.…(2分)
由題設(shè),f′(1)=-2a=-2,a=1,
此時(shí)f(1)=0,切線方程為y=-2(x-1),即2x+y-2=0.…(5分)
(2)f′(x)=-
,
令△=1-8a.
當(dāng)a≥
時(shí),△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.…(10分)
當(dāng)0<a<
時(shí),△>0,方程2ax
2-x+1=0有兩個(gè)不相等的正根x
1,x
2,
不妨設(shè)x
1<x
2,
則當(dāng)x∈(0,x
1)∪(x
2,+∞)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(x
1,x
2)時(shí),f′(x)>0,
這時(shí)f(x)不是單調(diào)函數(shù).
綜上,a的取值范圍是[
,+∞).…(12分)
分析:(1)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求出a值,最后再根據(jù)直線的方程寫出切線的方程即可.
(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),要討論函數(shù)的單調(diào)性,只要討論a的范圍再判斷f′(x)的符號(hào)即得.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線的求解中的應(yīng)用,屬于中檔試題