Question

19．已知p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（2a-6）^x在R上是單調(diào)減函數(shù)；q：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩根均大于3，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出兩個命題是真命題時a的范圍，利用復(fù)合命題的真假，推出a的范圍即可．

解答 解：p真，則指數(shù)函數(shù)f（x）=（2a-6）^x的底數(shù)2a-6滿足0＜2a-6＜1，所以3＜a＜$\frac{7}{2}$．
q真，令g（x）=x²-3ax+2a²+1，易知其為開口向上的二次函數(shù)．
因為x²-3ax+2a²+1=0的兩根均大于3，
所以①△=（-3a）²-4（2a²+1）=a²-4＞0，a＜-2或a＞2；
②對稱軸x=-$\frac{-3a}{2}$=$\frac{3a}{2}$＞3；可得a＞2．
③g（3）＞0，即3²-9a+2a²+1=2a²-9a+10＞0，所以（a-2）（2a-5）＞0．所以a＜2或a＞$\frac{5}{2}$．
綜上得a＞$\frac{5}{2}$．
p真q假，由3＜a＜$\frac{7}{2}$及a≤$\frac{5}{2}$，得a∈∅．
p假q真，由a≤3或a≥$\frac{7}{2}$及a＞$\frac{5}{2}$，得$\frac{5}{2}$＜a≤3或a≥$\frac{7}{2}$．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{5}{2}$，3]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．