Question

10．某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量Q（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q=$\frac{3x-2}{x}$（x＞1），已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品另需再投入32萬(wàn)元，若每件銷售價(jià)為“年平均每件生產(chǎn)成本（生產(chǎn)成本不含廣告費(fèi)）的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和．
（1）試將年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；（年利潤(rùn)=銷售收入-成本）
（2）當(dāng)年廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）求出銷售單價(jià)，推出銷售收入，然后求解年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)．
（2）利用基本不等式求解企業(yè)的年利潤(rùn)最大值即可．

解答 解：（1）由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q+3）萬(wàn)元，
銷售單價(jià)為$\frac{32Q+3}{Q}$×150%+$\frac{x}{Q}$×50%（2分）
故年銷售收入為y=（$\frac{32Q+3}{Q}$×150%+$\frac{x}{Q}$×50%）•Q=48Q+$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}$x
∴W=y-（32Q+3）-x=16Q+$\frac{3}{2}$-$\frac{x}{2}$=49.5-$\frac{32}{x}$-$\frac{x}{2}$（x＞1）（6分）
（2）∵W=49.5-（$\frac{32}{x}$+$\frac{x}{2}$）≤49.5-2$\sqrt{\frac{32}{x}•\frac{x}{2}}$=49.5-8=41.5．（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{32}{x}$=$\frac{x}{2}$，即x=8時(shí)，W有最大值41.5（11分）
∴當(dāng)年廣告費(fèi)為8萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大，為41.5萬(wàn)元．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．