Question

設(shè)圓C與兩圓（x+

5

）²+y²=4，（x-

5

）²+y²=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點(diǎn)M（

3 5

5

，

4 5

5

），F(xiàn)（

5

，0），且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|-|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F₁的距離加2與圓心C到圓心F₂的距離減2或圓心C到圓心F₁的距離減2與圓心C到圓心F₂的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)4，且小于兩圓心的距離2

5

，可知圓心C的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)M和F的坐標(biāo)寫出直線l的方程，與雙曲線L的解析式聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線l的方程中即可求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到直線l與雙曲線L的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，根據(jù)圖形可知||MT₁|-|FT₁||=|MF|，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MF|的長度，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)T₂重合時(shí)||MT₂|-|FT₂||＜|MF|，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P不是直線l與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得到|MP|-|FP|＜|MF|，綜上，得到動(dòng)點(diǎn)P與T₁重合時(shí)，||MP|-|FP||取得最大值，此時(shí)P的坐標(biāo)即為T₁的坐標(biāo)．

解答：解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（-

5

，0）、F₂（

5

，0），
由題意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2

5

=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸為4，焦距為2

5

的雙曲線，
因此a=2，c=

5

，則b²=c²-a²=1，
所以軌跡L的方程為

x2

4

-y²=1；

（2）過點(diǎn)M，F(xiàn)的直線l的方程為y=

4 5 5 -0

3 5 5 - 5

（x-

5

），
即y=-2（x-

5

），代入

x2

4

-y²=1，解得：x₁=

6 5

5

，x₂=

14 5

15

，
故直線l與雙曲線L的交點(diǎn)為T₁（

6 5

5

，-

2 5

5

），T₂（

14 5

15

，

2 5

15

），
因此T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，故||MT₁|-|FT₁||=|MF|=

( 3 5 5 - 5 ) 2+( 4 5 5 )2

=2，
||MT₂|-|FT₂||＜|MF|=2，若點(diǎn)P不在MF上，則|MP|-|FP|＜|MF|=2，
綜上所述，|MP|-|FP|只在點(diǎn)T₁處取得最大值2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

6 5

5

，-

2 5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，掌握雙曲線的簡單性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實(shí)際問題，是一道中檔題．