Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC=

3

，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到AC的長度，利用體積公式解答；
（2）利用面面垂直的判定定理，只要DE⊥平面ADC；
（3）在CD上存在點M，使得MO∥平面ADE，M為DC 的中點；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理解答．

解答： 解：（1）∵四邊形DCBE為平行四邊形，
∴CD∥BE，
∵DC⊥平面ABC，
∴AB是圓O的直徑，
∴BC⊥AC，∴AC=

AB2-BC2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•\BC=

3

2

，又BE=DC=

3

，
∴V_C-ABE=

1

3

S△ABC•BE=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

；
（2）∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵BC⊥AC，并且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
又∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在點M，使得MO∥平面ADE，M為DC 的中點；
證明：取BE的中點N，連接MO，MN，NO，
∴M，N，O分別為CD，BE，AB的中點，
∴MN∥DE，
∵DE?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE，
同理可得NO∥平面ADE，
∵MN∩NO=N，
∴平面MNO∥平面ADE，
∵MO?平面MNO，
∴MO∥平面ADE．

點評：本題考查了空間線面關(guān)系的評定和證明；考查了線面平行是判斷和性質(zhì)定理的運用以及線面垂直的判斷和性質(zhì)．