Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M、N分別是線段PB、AC上的動點，且不與端點重合，PM=AN．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）當MN的長最小時，求二面角A-MN-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）如圖所示，過點M作ME⊥AB交AB于點E，連接EN．設N（a，a，0），由PM=AN，可得M的坐標．向量

MN

，取平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），只要證明

MN

•

m

=0，即可得出．
（2）由|

MN

|=

a2+(a-1)2

=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，可當a=

1

2

時，|

MN

|取得最小值．M(

1

2

，0，

1

2

)，N(

1

2

，

1

2

，0)，B（1，0，0）．利用線面垂直與數(shù)量積的關系可得

n1

，

n2

，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，過點M作ME⊥AB交AB于點E，連接EN．
設N（a，a，0），∵PM=AN，∴M（a，0，1-a）．
∴

MN

=（0，a，a-1），
取平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
則

MN

•

m

=0，
∴

m

⊥

MN

．
∵點N不在平面PAD內(nèi)，
∴MN∥平面PAD．
（2）解：|

MN

|=

a2+(a-1)2

=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，
當a=

1

2

時，|

MN

|取得最小值．
M(

1

2

，0，

1

2

)，N(

1

2

，

1

2

，0)，B（1，0，0）．
∴

MN

=(0，

1

2

，-

1

2

)，

AN

=(

1

2

，

1

2

，0)，

BN

=(-

1

2

，

1

2

，0)．
設平面AMN，平面BMN的法向量分別為

n1

=（x，y，z），

n2

．
則

AN • n1 = 1 2 x+ 1 2 y=0 MN • n1 = 1 2 y- 1 2 z=0

，取y=1，z=1，x=-1．∴

n1

=（-1，1，1）．
同理可得

n2

=（1，1，1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

3 × 3

=-

1

3

．
由圖形可知：二面角A-MN-B的平面角為鈍角．
∴二面角A-MN-B的余弦值為-

1

3

．

點評：本題考查了線面平行及垂直與數(shù)量積的關系、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．