Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由.

 

 

Answer 1

(1）；（2).

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：【解析】
（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．

依題意　解得　

∴橢圓方程為.[

（2）假若存在這樣的k值，由得．

∴　　　　�、�

設(shè)，、，，則　　　　�、�

而．

要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即 ∴　　　�、�

將②式代入③整理解得．經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立.

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E.

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓的綜合問題.