國慶長假期間小明去參觀畫展,為了保護壁畫,舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開,小明在一幅壁畫正前方駐足觀看.如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖,已知壁畫高度AB是2米,壁畫底端與地面的距離BO是1米,玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米.若小明的身高為a米(0<a<3),他在壁畫正前方x米處觀看,問x為多少時,小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ最大?

(本小題滿分16分)
解:因為y=tanx在x∈(0,)是增函數(shù),
(1)當(dāng)0<a<1時,如圖1,tanθ=tan(α-β)==
令函數(shù)f(x)=,可證明函數(shù)f(x)在(0,)是單調(diào)減函數(shù),
是單調(diào)增函數(shù).
時,即,
f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),此時當(dāng)x=1時tanθ取得最大值,則視角θ最大.
時,即
①當(dāng)x=時,tanθ取得最大值,則視角θ最大.
②當(dāng)a=1時,tanθ=(x≥1),當(dāng)x=1時tanθ取得最大值,則視角θ最大.
(2)當(dāng)1<a<3且a≠2時如圖2,
tanθ═tan(α+β)==,
令g(x)=
在[1,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)x=1時,ymax>0,tanθ>0,故θ為銳角.
∴當(dāng)x=1時,g(x)取得最小值,tanθ取得最大值,則視角θ最大.
綜上:當(dāng)時,且x=1時,視角θ最大;
當(dāng),時,且x=時,視角θ最大.
分析:通過0<a<1,1<a<3且a≠2,分別求出tanθ,構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值,說明視角最大.
點評:本題考查解三角形的實際應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,分類討論思想,計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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國慶長假期間小明去參觀畫展,為了保護壁畫,舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開,小明在一幅壁畫正前方駐足觀看.如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖,已知壁畫高度AB是2米,壁畫底端與地面的距離BO是1米,玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米.若小明的身高為a米(0<a<3),他在壁畫正前方x米處觀看,問x為多少時,小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ最大?

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國慶長假期間小明去參觀畫展,為了保護壁畫,舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開,小明在一幅壁畫正前方駐足觀看.如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖,已知壁畫高度AB是2米,壁畫底端與地面的距離BO是1米,玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米.若小明的身高為a米(0<a<3),他在壁畫正前方x米處觀看,問x為多少時,小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某城市有甲,乙,丙三個兒童公園.“五一”期間,小明同學(xué)去這三個公園的概率分別為,,,且他是否去哪個公園相互之間沒有影響.設(shè)ξ表示在“五一”期間小明去兒童公園的個數(shù)(每個公園至多去一次).

(1)求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望;

(2)記“函數(shù)f(x)=x2-2ξx在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減”為事件m,求P(m).

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某城市有甲、乙、丙三個兒童公園.“五一”期間,小明同學(xué)去這三個公園的概率分別為,,,且他是否去哪個公園相互之間沒有影響.設(shè)ξ表示在“五一”期間小明去兒童公園的個數(shù)(每個公園至多去一次).

(1)求ξ的概率公布及數(shù)學(xué)期望;

(2)記“函數(shù)f(x)=x2-2ξx在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減”為事件M,求P(M).

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