Question

國慶長假期間小明去參觀畫展，為了保護壁畫，舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開，小明在一幅壁畫正前方駐足觀看．如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2米，壁畫底端與地面的距離BO是1米，玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米．若小明的身高為a米（0＜a＜3），他在壁畫正前方x米處觀看，問x為多少時，小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ最大？

Answer 1

（本小題滿分16分）
解：因為y=tanx在x∈（0，）是增函數(shù)，
（1）當(dāng)0＜a＜1時，如圖1，tanθ=tan（α-β）==，
令函數(shù)f（x）=，可證明函數(shù)f（x）在（0，）是單調(diào)減函數(shù)，
在是單調(diào)增函數(shù)．
若時，即，
f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，此時當(dāng)x=1時tanθ取得最大值，則視角θ最大．
若時，即，
①當(dāng)x=時，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
②當(dāng)a=1時，tanθ=（x≥1），當(dāng)x=1時tanθ取得最大值，則視角θ最大．
（2）當(dāng)1＜a＜3且a≠2時如圖2，
tanθ═tan（α+β）==，
令g（x）=，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，y_max＞0，tanθ＞0，故θ為銳角．
∴當(dāng)x=1時，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
綜上：當(dāng)時，且x=1時，視角θ最大；
當(dāng)，時，且x=時，視角θ最大．
分析：通過0＜a＜1，1＜a＜3且a≠2，分別求出tanθ，構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，說明視角最大．
點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論思想，計算能力．