Question

4．已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=$\sqrt{5}，SB=\sqrt{7}$，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且$\frac{SF}{SC}$=λ，SA∥平面BEF．
（Ⅰ）求實數(shù)λ的值；
（Ⅱ）求三棱錐F-EBC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BE=G，推導(dǎo)出SA∥FG，從而△GEA～△GBC，由此能求出$λ=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由${V_{F-BCE}}=\frac{2}{3}{V_{S-EBC}}=\frac{1}{3}{V_{S-ABCD}}$，能求出三棱錐F-EBC的體積．

解答 解：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BE=G，則平面SAC∩平面EFB=FG，
∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，
∴△GEA～△GBC，∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{SF}{FC}=\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}⇒SF=\frac{1}{3}SC$，
解得$λ=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵$SA=SD=\sqrt{5}$，∴SE⊥AD，SE=2，
又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴$BE=\sqrt{3}$，
∴SE²+BE²=SB²，∴SE⊥BE，
∴SE⊥平面ABCD，
所以${V_{F-BCE}}=\frac{2}{3}{V_{S-EBC}}=\frac{1}{3}{V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×2×2sin60°×2=\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．