Question

已知P是圓x²+y²=9，上任意一點，由P點向x軸做垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且

PM

=2

MQ

，點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（0，-2）的直線l與曲線C相交于A、B兩點，試問在直線y=-

1

8

上是否存在點N，使得四邊形OANB為矩形，若存在求出N點坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），則可設P（x，y₀），Q（x，0），根據(jù)又

PM

=2

MQ

，可確定y₀=3y，進而可知點P的坐標代入圓的方程，求得曲線C的方程．
（Ⅱ）設直線l方程y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線與橢圓方程聯(lián)立消y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達定理分別求得x₁+x₂，x₁x₂和y₁y₂，根據(jù)

OA

⊥

OB

，判斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得k，再由矩形對角線互相平分求得y_N和x_N，進而判斷所以存在這樣的點使得四邊形OANB為矩形．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則可設P（x，y₀），Q（x，0），又

PM

=2

MQ

，
∴y₀=3y，
∴P（x，3y）代入圓方程x²+y²=9，得曲線C的方程為

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）由已知知直線l的斜率存在且不為0，設直線l方程y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線與橢圓方程聯(lián)立消y，
得（1+9k²）x²-36kx+27=0，
△=（36k）²-4×27（9k²+1）＞0，k2＞

1

3

，
x1+x2=

36k

1+9k2

，x1x2=

27

1+9k2

，
y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=

4-9k2

1+9k2

，
若四邊形OANB為矩形，則

OA

⊥

OB

，
所以x1x2+y1y2=

27

1+9k2

+

4-9k2

1+9k2

，=0，k2=

31

9

＞

1

3

，
所以k=±

31

3

，由矩形對角線互相平分，
得y_N=y1+y2=

36k2

1+9k2

-4=

36× 31 9

1+9× 31 9

-4=-

1

8

，
xN=x1+x2=±

3 31

8

，
所以存在這樣的點N(

3 31

8

，-

1

8

)或N(-

3 31

8

，-

1

8

)、使得四邊形OANB為矩形．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，對于平面幾何、韋達定理等知識都有涉及，綜合性很強．