Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有2S_n=6-a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$，且數(shù)列$（{\frac{1}{b_n}}）$的前n項(xiàng)和T_n＜m對(duì)一切n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)m的小值為1．

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{a_n}以6為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$=2n，利用累加法求出b_n=n（n-1）+2，再放縮裂項(xiàng)求和求出T_n＜1，問題得以解決．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=6-a₁，
∴a₁=6，
∵2S_n=6-a_n，
∴2S_n-1=6-a_n-1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}以6為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=6×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴${b_{n+1}}-{b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}（{\frac{a_n}{18}}）$=2n，
∴b₂-b₁=2，
b₃-b₂=4，
…
b_n-b_n-1=2（n-1），
累加可得b_n-b₁=2（1+2+3+…+n-1）=n（n-1），
∴b_n=n（n-1）+2，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）+2}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×1+2}$+$\frac{1}{3×2+2}$+…+$\frac{1}{n（n-1）+2}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1，n≥2時(shí)，即T_n＜1，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=$\frac{1}{2}$＜1，
綜上所述T_n＜1，
∴m的最小值為1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和累加求通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和和放縮證明不等式成立，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題