Question

已知圓C：x²+y²=4，點(diǎn)D（4，0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O．圓C上任意一點(diǎn)A在X軸上的影射為點(diǎn)B已知向量

OQ

=t

OA

+（1-t）

OB

（t∈R，t≠0）
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程
（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PD交軌跡E于點(diǎn)R （異于P點(diǎn)），試問：直線QR與X軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，求出其坐標(biāo)；若不是定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)設(shè)Q（x，y），A（x₀，y₀）B（x₀，0）代入

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

得到x0= x，y0=

y

t

所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程為x2+

y2

t2

=4．
（2）設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁），直線RQ的方程為
y-y2=

y2+y1

x2-x2

(x-x2)令y=0將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4），x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入整理得x=1，即直線QR過定點(diǎn)（1，0）．驗(yàn)證當(dāng)k=0時(shí)也成立．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），A（x₀，y₀），則B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）
∴x0= x，y0=

y

t

∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，x2+

y2

t2

=4
即軌跡E的方程為x2+ 

y2

t2

=4
（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，軌跡E為橢圓，方程為

x2

4

+

y2

3

=1…①
設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由題意得，必有△＞0，故方程②有兩個(gè)不等實(shí)根．
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁）
由②知，x1+x2= 

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

直線RQ的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
當(dāng)k≠0時(shí)，令y=0，得x=x2-

y2( x2-x1)

y2+y1

，將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…③
再將x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入③計(jì)算得，x=1即直線QR過定點(diǎn)（1，0）

當(dāng)k=0時(shí)，y₁=y₂=0，直線QR過定點(diǎn)（1，0）
綜上可得，直線QR與x軸交于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求曲線方程的方法中相關(guān)點(diǎn)代入法以及直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的方程和定點(diǎn)問題，在高考中定值也是考查的重點(diǎn)．