Question

19．已知a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，x≤2}\\{1+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$存在最小值，則f（2a）的取值范圍為[3，+∞）．

Answer 1

分析 討論當(dāng)x≤2時(shí)，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得最小值；再由當(dāng)x＞2時(shí)，討論0＜a＜1，a＞1，由單調(diào)性，結(jié)合題意，可得1+log_a2≥2，解方程可得a的范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值2；
當(dāng)x＞2時(shí)，若0＜a＜1，則f（x）＜1+log_a2＜2，顯然不滿足題意；
若a＞1，要使f（x）存在最小值，必有1+log_a2≥2，
解得1＜a≤2．
即2＜2a≤4，
f（2a）=1+log_a（2a）=2+log_a2=2+$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$，
由0＜log₂a≤1，可得$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$≥1，
可得f（2a）≥3，
故答案為：[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的最值問題的解法，考查分類討論思想方法，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．