Question

如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，作出輔助線MN，N為中點(diǎn)，在中，利用中位線得到，且，結(jié)合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問，利用面面垂直的性質(zhì)，判斷面，再利用已知的邊長，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三問，可以利用傳統(tǒng)幾何法證明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夾角公式計(jì)算即可.
（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，
分別為的中點(diǎn)，所以∥，且
．由已知∥，，所以
∥，且．所以四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051601797465.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，
所以∥平面．                      4分
（2）證明：在正方形中，．又因?yàn)?br />平面平面，且平面平面，
所以平面．所以．             6分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．         7分
所以平面．             8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051602249433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．        9分
（3）（方法一）延長和交于．

在平面內(nèi)過作于,連結(jié)．由平面平面，
∥，，平面平面=，
得，于是．
又，平面，所以，
于是就是平面與平面所成銳二面角的
平面角.                             12分
由，得.
又，于是有.
在中，.
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．   14分
（方法二）由（2）知平面，且．
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

易得 .平面的一個法向量為.設(shè)為平面的一個法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051603326717.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，令，得．
所以為平面的一個法向量．   １２分  
設(shè)平面與平面所成銳二面角為． 
則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．                             14分