若關于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五個互不相等的實根，則k的取值范圍是（　　）
A、(-
1
4
，
1
4
)
B、(-∞，-
1
4
)∪(
1
4
，+∞)
C、(-∞，-
1
8
)∪(
1
8
，+∞)
D、(-
1
8
，0)∪(0，
1
8
)
分析：由方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0得|x+
1
x
|-|x-
1
x
|=kx+1，設函數(shù)f(x)=|x+
1
x
|-|x-
1
x
|，g(x)=kx+1，然后分別作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用圖象確定k的取值范圍．
解答：精英家教網(wǎng)解：∵方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0，
∴|x+
1
x
|-|x-
1
x
|=kx+1，
設函數(shù)f(x)=|x+
1
x
|-|x-
1
x
|，g(x)=kx+1，
則f(x)=|x+
1
x
|-|x-
1
x
|=
-
2
x
，x＜-1
-2x，-1≤x≤0
2x，0＜x＜1
2
x
，x≥1
，
當x＞1時，由直線g（x）=kx+1與f（x）=
2
x
相切時，得kx+1=
2
x
，
即kx2+x-2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=-
1
8
，
當x＜-1時，由直線g（x）=kx+1與f（x）=-
2
x
相切時，得kx+1=-
2
x
，
即kx2+x+2=0，由△=1-4×2k=0，解得k=
1
8
，
∴要使關于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五個互不相等的實根，
則由圖象可知-
1
8
＜k＜0或0＜k＜
1
8
，
即k的取值范圍是(-
1
8
，0)∪(0，
1
8
)，
故選：D．
點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的應用，利用方程和函數(shù)之間的關系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若關于x的方程ax+2x-4=0（a＞0且a≠1）的所有根記作x1，x2，…，xm（m∈N*），關于x的方程loga2x+x-2=0的所有根記作x1′，x2′，…，xn′（n∈N*），則
x1+x2+…+xm+
x
′
1
+
x
′
2
+…+
x
′
n
m+n
的值為（　�。�
A、
1
4
B、
1
2
C、1
D、2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若關于x的方程x|x-a|=a有三個不相同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A、（0，4）B、（-4，0）C、（-∞，-4）∪（4，+∞）D、（-4，0）∪（0，4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出以下四個結(jié)論：
（1）函數(shù)f(x)=
x-1
2x+1
的對稱中心是(-
1
2
，-
1
2
)；
（2）若關于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，當a＞0且a≠1，b＞0時，
b
a-1
的取值范圍為(-∞，-
1
3
)∪(
2
3
，+∞)；
其中正確的結(jié)論是：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且f（x）的一個極值為-4
（1）求p、q的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）=t有3個不同的實根，求t的取值范圍；
（3）令g（x）=f′（ex）+x-（t+12）ex，是否存在實數(shù)M，使得t≤M時g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．若存在，求出M的最大值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•福建模擬）給出以下四個結(jié)論：
（1）若關于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2
（2）曲線y=1+
4-x2
(|x|≤2)與直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，實數(shù)k的取值范圍是(
5
12
，
3
4
]
（3）已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側(cè)，則3b-2a＞1；
（4）若將函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
3
)的圖象向右平移?（?＞0）個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則?的最小值是
π
12
，其中正確的結(jié)論是：
（2）（3）（4）
（2）（3）（4）
．

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