【題目】已知數(shù)列，，…，的項(xiàng)，其中…，，，其前項(xiàng)和為，記除以3余數(shù)為1的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并化簡(jiǎn).

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）根據(jù)題意這6項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1，其余均為2，這樣的數(shù)列共有個(gè)，即可得解；

（2）這項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1……或個(gè)1，其余均為2，所以，結(jié)合除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列分別為，，根據(jù)規(guī)律猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解：（1）因?yàn)榍傲?xiàng)的和除以3余數(shù)為1

所以這6項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1，其余均為2，

所以這樣的數(shù)列共有個(gè)，故

（2）因?yàn)?/span>，，…，和除以3余數(shù)為1，

所以這項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1……或個(gè)1，其余均為2，

所以，設(shè)除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列分別為，

同理，，

∵

∵

結(jié)合（1）猜想，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，，成立

假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，成立，且，

則當(dāng)時(shí)，數(shù)列共項(xiàng)，分兩步看，第一步先看前項(xiàng)，前項(xiàng)的和除以3余數(shù)為1，2，0的數(shù)列的個(gè)數(shù)分別為，，，第二步看后6項(xiàng)，最后6項(xiàng)的和除以3眾數(shù)為0，2，1的數(shù)列的個(gè)數(shù)分別為22，21，21

∴

所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立

綜上，，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國(guó)范圍內(nèi)開始傳播，專家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)為的概率與、的關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望；

（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為.

（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當(dāng)取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)所對(duì)應(yīng)的值和此時(shí)對(duì)應(yīng)的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明戴口罩的必要性.（取）

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若同學(xué)甲必選物理，則下列說法正確的是（ ）

A.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對(duì)立事件

B.甲的不同的選法種數(shù)為15

C.已知乙同學(xué)選了物理，乙同學(xué)選技術(shù)的概率是

D.乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省新高考將實(shí)行“”模式，“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語文數(shù)學(xué)外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)生物思想政治地理4個(gè)科目中選擇兩科.某考生已經(jīng)確定“首選科目”為物理，如果他從“再選科目”中隨機(jī)選擇兩科，則思想政治被選中的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是圓柱底面圓O的直徑，底面半徑，圓柱的表面積為，點(diǎn)在底面圓上，且直線與下底面所成的角的大小為.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求二面角的大小的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（2）證明函數(shù)在(-π，0)上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)且

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.

（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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