Question

已知實數(shù)a，b，c，d滿足

lna

b

=

d2-2d

-c2

=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A、

  2

  -1
• B、2-

  2

• C、3-2

  2

• D、1-

  2

  2

Answer 1

考點：曲線與方程,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：實數(shù)a，b，c，d滿足

lna

b

=

d2-2d

-c2

=1，可得b=lna，（d-1）²+c²=1．考查函數(shù)y=lnx與圓的方程x²+（y-1）²=1的圖象及其性質(zhì)．設(shè)直線l與函數(shù)y=lnx相切于點P（x₀，lnx₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線l的方程為：y-lnx₀=

1

x0

(x-x0)，由于EP⊥l，可得k_EP•k_l=-1，解得切點為P（1，0）．即可得出（a-c）²+（b-d）²的最小值為（|EP|-r）²．

解答： 解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足

lna

b

=

d2-2d

-c2

=1，
∴b=lna，（d-1）²+c²=1．
考查函數(shù)y=lnx，與圓的方程x²+（y-1）²=1．
設(shè)直線l與函數(shù)y=lnx相切于點P（x₀，lnx₀），
∵y′=

1

x

，
∴切線l的方程為：y-lnx₀=

1

x0

(x-x0)，
∵EP⊥l，
∴k_EP•k_l=

lnx0-1

x0

•

1

x0

=-1，
∴lnx0=1-

x

2 0

，
當x₀=1時，上述方程成立；當x₀＞1或0＜x₀＜1時，上述方程不成立．
因此切點為P（1，0）．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為（|EP|-r）²=(

2

-1)2=3-2

2

．
故選；C．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)與圓的圖象及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．