Question

已知向量（λ≠0），，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求向量與的夾角；
（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)α、β都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴，
設(shè)向量與的夾角為θ，得

又∵
=λsin（α-β）=λ
∴|λ|cosθ=λ?cosθ=±
∵θ∈[0，π]
∴θ=或
（Ⅱ）
代入（1）的運(yùn)算結(jié)果，=λsin（α-β），
得
不等式化為：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴?λ≤-3或λ≥3
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）
分析：（Ⅰ）首先利用向量模的坐標(biāo)公式求出向量、的長(zhǎng)度，從而得到，然后利用向量數(shù)理積的坐標(biāo)公式，得到=λsin（β-α）=-λ，最后解關(guān)于夾角θ的方程，可得向量與的夾角；
（Ⅱ）代入（1）的運(yùn)算結(jié)果，將不等式整理為：λ²-2λsin（β-α）-1≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)α、β都成立，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，建立關(guān)于λ的不等式組，解之可得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．解題時(shí)應(yīng)該注意等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運(yùn)用．