Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=

π

2

，AC=3，BC=2，P是△ABC內(nèi)一點．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角頂角，求PA的長；
（2）若∠BPC=

2π

3

，設(shè)∠PCB=θ，求△PBC的面積S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由三角形PBC為等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的長，在三角形PAC中，利用余弦定理求出PA的長即可；
（2）在三角形PBC中，由∠BPC與∠PCB的度數(shù)表示出∠PBC的度數(shù)，利用正弦定理表示出PB與PC，進(jìn)而表示出三角形PBC面積，利用正弦函數(shù)的值域確定出面積的最大值即可．

解答： 解：（1）∵P為等腰直角三角形PBC的直角頂點，且BC=2，
∴∠PCB=

π

4

，PC=

2

，
∵∠ACB=

π

2

，∴∠ACP=

π

4

，
在△PAC中，由余弦定理得：PA²=AC²+PC²-2AC•PC•cos

π

4

=5，
整理得：PA=

5

；
（2）在△PBC中，∠BPC=

2π

3

，∠PCB=θ，
∴∠PBC=

π

3

-θ，
由正弦定理得：

2

sin 2π 3

=

PB

sinθ

=

PC

sin( π 3 -θ)

，
∴PB=

4 3

3

sinθ，PC=

4 3

3

sin（

π

3

-θ），
∴△PBC的面積S（θ）=

1

2

PB•PCsin

2π

3

=

4 3

3

sin（

π

3

-θ）sinθ=

2 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

3

，θ∈（0，

π

3

），
則當(dāng)θ=

π

6

時，△PBC面積的最大值為

3

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．