Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（其中a、b為常數(shù)且a≠0）在x=1處取得極值．
（1）當a=1時，求f（x）的極大值點和極小值點；
（2）若f（x）在（0，e]上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過求解函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的極值點，求出b，然后通過函數(shù)的單調(diào)性求解極值點即可．
（2）通過f′（x）=0求出x₁=1，x₂=

1

2a

，然后討論當

1

2a

＜0時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），求出a．（ⅱ）當a＞0時，①當

1

2a

＜1時，利用f（x）在（0，

1

2a

）上單調(diào)遞增，（

1

2a

，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增，求出a=

1

e-2

．②當1≤

1

2a

＜e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，

1

2a

）上單調(diào)遞減，（

1

2a

，e）上單調(diào)遞增，求解a即可．③當x₂=

1

2a

≥e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，求解a即可．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）因為f（x）=lnx+ax²+bx，所以f′（x）=

1

x

+2ax+b．
因為函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx在x=1處取得極值，
f′（1）=1+2a+b=0．當a=1時，b=-3，f′（x）=

2x2-3x+1

x

，
f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?增函數(shù)	極大值	?減函數(shù)	極小值	?增函數(shù)

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2

，1）----（3分）
所以f（x）的極大值點為

1

2

，f（x）的極小值點為1．---------------（4分）
（2）因為f′（x）=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

（x＞0），
令f′（x）=0得，x₁=1，x₂=

1

2a

，
因為f（x）在x=1處取得極值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
（�。┊�

1

2a

＜0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），令f（1）=1，解得a=-2，--------（7分）
（ⅱ）當a＞0時，x₂=

1

2a

＞0，
①當

1

2a

＜1時，f（x）在（0，

1

2a

）上單調(diào)遞增，（

1

2a

，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增，
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e處取得，
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）•

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

-1＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

；------------------（9分）
②當1≤

1

2a

＜e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，

1

2a

）上單調(diào)遞減，（

1

2a

，e）上單調(diào)遞增，
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，與1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾；
③當x₂=

1

2a

≥e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾．
綜上所述，a=

1

e-2

或a=-2．------------------------（12分）

點評：考查導數(shù)的基本概念（極值點的概念）、應用，含字母的分類討論的思想．考查分析問題解決問題的能力．