Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn)．
（1）求直線BE與A₁C所成角的余弦值．
（2）在線段AA₁上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，進(jìn)而可表示向量，利用向量的數(shù)量積可求直線BE與A₁C所成的角的余弦；
（2）要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由 $\overrightarrow{C{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$=0可建立方程，從而得解．

解答 解：（1）因?yàn)橹比�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$．
以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…（2分）
因?yàn)锳C=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=$\sqrt{2}$，
從而B(niǎo)（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
B₁（0，0，3），A₁（$\sqrt{2}$，0，3），C₁（0，$\sqrt{2}$，3），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
所以$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
而|$\overrightarrow{C{A}_{1}}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，且$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{7}{2}$，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{13}×\frac{\sqrt{11}}{2}}$=$\frac{7\sqrt{143}}{143}$．…（5分）
所以直線BE與A₁C所成的角的余弦為$\frac{7\sqrt{143}}{143}$．…（6分）
（2）設(shè)AF=x，則F（$\sqrt{2}$，0，x），$\overrightarrow{CF}$=（ $\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，x），
$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（ $\sqrt{2}$，0，x-3），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），…（8分）
則：$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+x×0=0，
所以 $\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，…（9分）
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由 $\overrightarrow{C{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$=2+x（x-3）=0，有x=1或x=2，…（11分）
故當(dāng)AF=1，或AF=2時(shí)，CF⊥平面B₁DF．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用向量法研究線線垂直和異面直線所成的角，選用向量法，避開(kāi)了作輔助線，優(yōu)越性很強(qiáng)，作為理科要注意應(yīng)用．