Question

2．已知函數f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$．
（1）求函數f（x）的對稱中心坐標；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x ）的解析式，令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z），求函數f（x）的對稱中心坐標；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，求得x的范圍即為增區(qū)間，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，求得x的范圍即為減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函數f（x）的對稱中心坐標是（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0）（k∈Z）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$
∴函數f（x）的單調增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）；
2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$
∴函數f（x）的單調增區(qū)間是[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．

點評 本題考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性、對稱性，把函數f（x）的解析式化為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）是解題的突破口，屬于中檔題．