Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，（x+1）（x+e^-x）f（x）＞2（1+$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的單調(diào)性，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出m的范圍；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，令f（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，g（x）=$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．（1分）
所以 $f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
則  x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．（3分）
又f（x）在（m，m+1）上存在極值，則m＜1＜m+1?0＜m＜1．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）．（5分）
（Ⅱ）證明：$（x+1）（x+{e^{-x}}）f（x）＞2（1+\frac{1}{e}）?\frac{1}{e+1}•\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．
令$g（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}，則g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$．
令$φ（x）=x-lnx，則φ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}，當(dāng)x＞0時(shí)，φ'（x）＞0$，
∴φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
所以φ（x）＞φ（1）=1＞0，
∴g'（x）＞0．∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，$g（x）＞g（1）=2，故\frac{g（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}$．（9分）
令$h（x）=\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}，則h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（1-{e^x}）}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}$．
∵x＞1，∴1-e^x＜0，∴h'（x）＞0，則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
所以，$h（x）＜h（1）=\frac{2}{e+1}$．（11分）
故 $\frac{g（x）}{e+1}＞h（x）$，即$（x+1）（x+{e^x}）f（x）＞2（1+\frac{1}{e}）$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．