Question

(09 年石景山區(qū)統(tǒng)一測試文)（14分）

如圖，已知正三棱柱―的底面邊長是，側(cè)棱的長是，點(diǎn)是

側(cè)棱的中點(diǎn)．

   （Ⅰ）求直線與側(cè)面所成的角；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

解析：解法一：

   （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

∵ 是正三角形，

    ∴ ．

    又底面側(cè)面，

    且兩平面交線為，

       ∴ 側(cè)面．

       連結(jié)，則為直線與側(cè)面所成的角．     ………………2分

       在正三角形中，∵ ，∴ ．

       在直角三角形中，∵ ，，∴ ．

       在中，∵ ，∴ ．           ………………3分

       ∴ 直線與側(cè)面所成的角為．                ………………4分

   （Ⅱ）過作于，連結(jié)．

       ∵ 側(cè)面，∴ 是在平面內(nèi)的射影．

          由三垂線定理，可知．

      ∴ 為二面角的平面角．                   ………………6分

       在中，，又，

       ，                           ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小為．                     ………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交線為，

       過作于，則平面．

    ∴ 的長為點(diǎn)到平面的距離．                    ………………10分

       在中，． ………………12分

       ∵ 為中點(diǎn)，∴ 點(diǎn)到平面的距離為．　　………1４分

       解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

       設(shè)為平面的法向量．

       由 ，

       得．

       取．                                     ………………6分

       又平面的一個法向量，                     ………………7分

       ∴ ． 　………8分

       結(jié)合圖形可知，二面角的大小為．      　　 ………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ），，．              ………10分

       ∴ 點(diǎn)到平面的距離

     ．

       ∴ 點(diǎn)到平面的距離為．                       ………………14分