Question

【題目】數(shù)列{an}與{bn}滿足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②當k≥2時，若ak﹣1+bk﹣1≥0，則ak=ak﹣1 ， bk= ；若ak﹣1+bk﹣1＜0，則ak= ，bk=bk﹣1 ．
（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2 ， b2 ， a3 ， b3的值；
（Ⅱ）設Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an），求Sn（用a，b表示）；
（Ⅲ）若存在n∈N* ， 對任意正整數(shù)k，當2≤k≤n時，恒有bk﹣1＞bk ， 求n的最大值（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3= ，b3=0；
（Ⅱ）∵ = ， = ，
∴無論是ak﹣1+bk﹣1≥0，還是ak﹣1+bk﹣1＜0，都有bk﹣ak= ，
即{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a為首項， 為公比的等比數(shù)列，
所以Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an）= ；
（Ⅲ）∵bk﹣1＞bk ， 及數(shù)列{an}與{bn}滿足的關系，
∴ak﹣1+bk﹣1≥0，∴ak=ak﹣1 ，
即對任意正整數(shù)k，當2≤k≤n時，恒有ak=a，
由（Ⅱ）知bk﹣ak= ，∴bk=a+ ，
所以ak﹣1+bk﹣1= ，解得 ，
所以n的最大值為不超過 的最大整數(shù)
【解析】（Ⅰ）由題意可直接寫出答案；（Ⅱ）分情況計算bk﹣ak ， 得{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a為首項， 為公比的等比數(shù)列，從而可得Sn；（Ⅲ）由bk﹣1＞bk ， 數(shù)列{an}與{bn}滿足的關系倒推出對任意正整數(shù)k，當2≤k≤n時，恒有ak=a，結合（Ⅱ）知 ，解之即可．