設f(θ)=2cos2θ+
3
sin2θ，θ∈(0，
π
4
)；
（1）求f（θ）的值域；
（2）若y=x+
a
x
（x＞0），試問實數(shù)a為何值時，y≥f（θ）恒成立？
分析：（1）通過二倍角的三角函數(shù)公式進行化簡，得到f(θ)=2sin(2θ+
π
6
)，最后根據(jù)θ∈（0，
π
4
），可以得出函數(shù)f（θ）的值域．
（2）由（1）得f（θ）max=3，從而x+
a
x
≥3，在（0，+∞）恒成立等價于a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
解答：解：（1）f(θ)=2sin(2θ+
π
6
)+1；
 &0＜θ＜
π
4
⇒&
π
6
＜2θ+
π
6
＜
2π
3

⇒f（θ）∈（2，3]
∴f（θ）的值域：（2，3]．
（2）∵f（θ）max=3，
∴x+
a
x
≥3，在（0，+∞）恒成立
a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，
∵x(3-x)=-x2+3x=-(x-
3
2
)2+
9
4
≤
9
4
，
x=
3
2
∈(0，+∞)時取等號
∴只要a≥
9
4
即可．
點評：本題著重考查了三角函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．準確運用三角函數(shù)有關公式結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解決本題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=2cos（
π
4
 x+
π
3
），若對任意的x∈R，恒有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則|x1-x2|的最小值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（cosx，1-asinx），
n
=（cosx，2），設f（x）=
m
•
n
，且函數(shù)f（x）的最大值為g（a）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（a）的解析式．
（Ⅱ）設0≤θ≤2π，求函數(shù)（2cosθ+1）的最大值和最小值以及對應的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(x)=
a
•
b
．其中向量
a
=(
2
sinωx，
2
cosωx+1)，
b
=(
2
cosωx，
2
cosωx-1)
（1）當ω=1，x∈(0，
π
2
)時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當ω=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=(2cos
ωx
2
，2sin
ωx
2
)，
b
=(sin
ωx
2
，
3
sin
ωx
2
)，ω＞0，記函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
3
4
|
a
|2，且以π為最小正周期．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a=1，b=
2
，f（A）=0，求角C的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（θ）=
2cos(2 π-θ)sin(
π
2
+θ)
1
tan(π-θ)
•cos(
3π
2
-θ)
．
（1）化簡f（θ）
（2）若α為第四象限角，求滿足f（α）=1的α值．

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