Question

某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）下表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；

區(qū)間	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人數(shù)	50	50	a	150	b

（Ⅱ）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50．
…（2分）
（Ⅱ） 因為第1，2，3組共有50+50+200=300人，
利用分層抽樣在300名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組抽取的人數(shù)分別為：
第1組的人數(shù)為，
第2組的人數(shù)為，
第3組的人數(shù)為，
所以第1，2，3組分別抽取1人，1人，4人． …（6分）
（Ⅲ）設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C₁，C₂，C₃，C₄，
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有：（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），（A，C₄），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₃，C₄），
共15種可能． …（10分）
其中2人年齡都不在第3組的有：（A，B），共1種可能，…（12分）
所以至少有1人年齡在第3組的概率為． …（13分）
分析：（I）由題設(shè)中頻率分布直方圖再結(jié)合頻率、頻數(shù)及樣本容量之間的關(guān)系可得a、b的值；
（II）根據(jù)分成抽樣的定義知：第1，2，3組各部分的人數(shù)的比例為1：1：4，則共抽取6人時，所以第1，2，3組三個年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)為1，1，4．
（III）設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C₁，C₂，C₃，C₄，列出所有情況，根據(jù)古典概型運算公式計算即可．
點評：本題考查等可能事件的概率及分層抽樣方法，考查對立事件的概率，在考慮問題時，若問題從正面考慮比較麻煩，可以從它的對立事件來考慮．