Question

（2012•廈門模擬）已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，θ∈(0，

π

2

)，試分別解答下列兩小題．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)E(-

π

12

，1)，F(xiàn)(

π

6

，

3

)，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)M，N分別是函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P（t，

3 π

8

）滿足

PN

•

MN

=

π 2

16

，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)E(-

π

12

，1)，F(xiàn)(

π

6

，

3

)，建立方程，可求θ的值，利用f(

π

6

)=

3

，可求A的值，從而可得函數(shù)解析式；
（Ⅱ）利用

PN

•

MN

=

π 2

16

，可求|NC|=

π

8

，從而|MC|=|MN|-|NC|=

3π

8

，由此可得θ+2t=

3π

4

，利用P（t，

3 π

8

）在圖象上，即可求得函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)E(-

π

12

，1)，F(xiàn)(

π

6

，

3

)，
∴Asin（-

π

6

+θ）=1，Asin（

π

3

+θ）=

3

，
∴sin（

π

3

+θ）=

3

sin（-

π

6

+θ），
展開化簡(jiǎn)可得

3

cosθ=sinθ
∴tanθ=

3

∵θ∈(0，

π

2

)，∴θ=

π

3

∴函數(shù)f（x）=Asin（2x+

π

3

），
∵f(

π

6

)=

3

，∴A=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）設(shè)P在x軸上的射影為C，∵

PN

•

MN

=|

PN

||

MN

|cos∠PNM=

π

2

|NC|=

π2

16

∴|NC|=

π

8

∴|MC|=|MN|-|NC|=

3π

8

∴2[t-（-

θ

2

）]-

π

8

=

3π

8

∴θ+2t=

3π

4

∵P（t，

3 π

8

）在圖象上
∴Asin（θ+2t）=

3 π

8

∴A=

6 π

8

∴函數(shù)f（x）的最大值為

6 π

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．