Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（2）求證：AC⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析：（1）由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，知BB₁∥AA₁∥DD₁，且BB₁=AA₁=DD₁，由此能夠證明B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）由DD₁⊥面AC，知DD₁⊥AC，由DD₁⊥BD，能夠證明AC⊥平面BDD₁B₁．

解答：證明：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁∥AA₁∥DD₁，且BB₁=AA₁=DD₁，
（寫成BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁不扣分）
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，
∴B₁D₁∥BD，
．又∵B₁D₁?平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）∵DD₁⊥面AC，∴DD₁⊥AC，
∵DD₁⊥BD，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．