已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若不等式f（x）-m＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）先利用倍角公式對函數(shù)式進行化簡，再利用兩角和公式整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）跟x的范圍確定函數(shù)f（x）的范圍，要使不等式f（x）-m＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立只要其最小值小于m即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=[1-cos(
π
2
+2x)]-
3
cos2x=1+sin2x-
3
cos2x=1+2sin(2x-
π
3
)．
∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．
（Ⅱ）又∵x∈[
π
4
，
π
2
]，∴
π
6
≤2x-
π
3
≤
2π
3
，即2≤1+2sin(2x-
π
3
)≤3，
∴f（x）max=3．
∵不等式f（x）-m＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立∴m＞f（x）max-2=1即m的取值范圍是（1，+∞）．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性問題，兩角和與差的公式，倍角公式等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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