Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)，則ω的最大值是（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 9
• D． 11

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)，可得ω的最大值．

解答 解：∵x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，
∴$\frac{2n+1}{4}$•T=$\frac{π}{2}$，即 $\frac{2n+1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)，則$\frac{5π}{36}$-$\frac{π}{18}$=$\frac{π}{12}$≤$\frac{T}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{6}$，解得：ω≤12，
當(dāng)ω=11時，-$\frac{11π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
此時f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）不單調(diào)，不滿足題意；
當(dāng)ω=9時，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
此時f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調(diào)，滿足題意；
故ω的最大值為9，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大．