Question

9．已知拋物線C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C₁分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△ABO面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓的右焦點(diǎn)，可得拋物線的p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=my+4，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由△ABO面積為S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|，代入韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)由不等式的性質(zhì)，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點(diǎn)為（1，0），
設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
則拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=my+4，
代入拋物線方程可得，
y²-4my-16=0，
判別式為16m²+64＞0恒成立，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
則△ABO面積為S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|
=2|y₁-y₂|=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=2$\sqrt{16{m}^{2}+64}$≥2$\sqrt{64}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，△ABO的面積取得最小值16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的方程的聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．