Question

16．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13，S_n=a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n-1+a_n（n＞1），則S_n取得最大值時(shí)，n=8．

Answer 1

分析 根據(jù)a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13列方程組求出{a_n}的通項(xiàng)公式，和前n項(xiàng)和公式，把S_n看做關(guān)于n得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13，∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=27}\\{2{a}_{1}+10d=13}\end{array}\right.$，解得a₁=24，d=-$\frac{7}{2}$，∴a_n=24-$\frac{7}{2}$（n-1）=$\frac{55}{2}-\frac{7n}{2}$．
∴S_n=2（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n）-a₁-a_n=2×$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$×n-a₁-a_n=（a₁+a_n）（n-1）=$\frac{（103-7n）（n-1）}{2}$．
∴S_n為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為n=$\frac{1}{2}（\frac{103}{7}+1）$=$\frac{55}{7}$=7$\frac{6}{7}$．
∵n∈N，∴當(dāng)n=8時(shí)S_n取得最大值．
故答案為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．