在△ABC中，點G為△ABC的重心．已知|AB|=2
3
，且向量
GA
與
GB
的夾角為120°，則
CA
•
CB
的最小值是
（　�。�
A、-3B、6C、9D、24
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，由
CA
=
CG
+
GA
，
CB
=
CG
+
GB
.
GA
+
GB
=2
GD
.
CG
=2
GD
，可得
CA
•
CB
=8
GD
2+
GA
•
GB
，設(shè)GA=m，GB=n．由中線長定理可得：m2+n2=2
GD
2+6．由余弦定理可得：AB2=GA2+GB2-2GA•GBcos120°，即(2
3
)2=m2+n2-2mn×(-
1
2
)，可得mn≤4，即可得出．
解答： 解：如圖所示，
∵
CA
=
CG
+
GA
，
CB
=
CG
+
GB
．
GA
+
GB
=2
GD
．
CG
=2
GD
，
∴
CA
•
CB
=(
CG
+
GA
)•(
CG
+
GB
)
=
CG
2+
CG•
(
GA
+
GB
)+
GA
•
GB

=
CG
2+
CG
2+
GA
•
GB

=8
GD
2+
GA
•
GB
，
設(shè)GA=m，GB=n．
由中線長定理可得：m2+n2=2
GD
2+6，
∴
CA
•
CB
=4（m2+n2-6）-
1
2
mn
≥
15
2
mn-24．
由余弦定理可得：AB2=GA2+GB2-2GA•GBcos120°，
∴(2
3
)2=m2+n2-2mn×(-
1
2
)，
化為12=m2+n2+mn≥3mn，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號．
∴mn≤4，
∴
CA
•
CB
=
15
2
×4-24=6，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時取等號．
故選：B．
點評：本題考查了向量的三角形法則、三角形的重心性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、余弦定理、中線長定理、基本不等式的性質(zhì)考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么稱h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．
（Ⅰ）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
第一組：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，h（x）=sin（x+
π
3
）；
第二組：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
（Ⅱ）設(shè)f1（x）=log2x，f2（x）=log
1
2
x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1：x2+y2-2mx+5=0上存在兩點A，B關(guān)于直線3x-2y-m2=0對稱，則雙曲線C2：
x2
6+m
-
y2
16
=1的頂點到漸近線的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的頂點A（2，-1），B（4，3），C（4，-2），求：
（1）BC邊上中線AD所在直線的一個方向向量的坐標(biāo)
（2）∠A的平分線AM所在直線的一個方向向量的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：（1）cosθ+cosφ=2cos
θ+φ
2
•cos
θ-φ
2

     （2）3+cos4α-4cos2α=8sin4α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an }中，a2+a6=6，Sn 為其前n 項和，S5=
35
3
．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=
1
an-1an
（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜m 對一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，f（x）=x2+ax+a+1，g（x）=ex．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若h（a）是f（x）的最小值，求出h（a）的最大值；
（3）討論函數(shù)F（x）=f（x）g（x）極點值的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（x，-2），
b
=（1，-x），其中x∈R，若
a
∥
b
，則實數(shù)x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

sin1050°+cos（-660°）=
 
．

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同步練習(xí)冊答案