Question

已知圓C₁：x²+y²-2mx+5=0上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線3x-2y-m²=0對(duì)稱，則雙曲線C₂：

x2

6+m

-

y2

16

=1的頂點(diǎn)到漸近線的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得直線3x-2y-m²=0經(jīng)過圓心（m，0），（|m|＞

5

），可得m=3，求得雙曲線的頂點(diǎn)和漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：圓C₁：x²+y²-2mx+5=0上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線3x-2y-m²=0對(duì)稱，
則有直線3x-2y-m²=0經(jīng)過圓心（m，0），（|m|＞

5

），
即3m-m²=0，解得m=3，
雙曲線C₂：

x2

6+m

-

y2

16

=1即為

x2

9

-

y2

16

=1，
漸近線方程為y=±

4

3

x，頂點(diǎn)為（±3，0），
則頂點(diǎn)到漸近線的距離為d=

|4×3|

32+42

=

12

5

．
故答案為：

12

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，運(yùn)用圓的對(duì)稱性和點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．