分析 (1)利用條件列出方程,求出公差與公比,得到通項公式.
(2)解法一:利用${d_{2n-1}}={c_{3n-1}}={2^{3n-1}}$; ${d_{2n}}={c_{3n}}={2^{3n}}$.項數(shù)是奇數(shù)項與偶數(shù)項分別求解數(shù)列的和.
解法二:通過cn=2${\;}^{{a}_{n}}$•bn2,偶數(shù)項轉化為兩個等比數(shù)列求和;奇數(shù)項借助偶數(shù)項的和求解數(shù)列的和.
解答 解:(1)由題意,得$\left\{\begin{array}{l}(1+d)+1•q①\\(1+2d)+1•{q^2}②\end{array}\right.$…(2分)
由①,得d=-q.代入②中,可得q2-2q-3=0.
解得q=3,或q=-1.因為公比q<0,所以舍去q=3,從而q=-1.
所以d=-q=1.…(4分)
所以an=1+(n-1)•1=n,${b_n}=1•{(-1)^{n-1}}={(-1)^{n-1}}$.…(6分)
(2)${c_n}={2^{a_n}}•{b_n}^2={2^n}$.
解法一:由題意,${d_{2n-1}}={c_{3n-1}}={2^{3n-1}}$; ${d_{2n}}={c_{3n}}={2^{3n}}$.…(7分)
當n=2k(k∈N*)時,Sn=d1+d2+d3+…+d2k=(d1+d3+…+d2k-1)+(d2+d4+…+d2k)=(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k)…(8分)
=$\frac{{4-{2^{3k-1}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}+\frac{{8-{2^{3k}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}$=$\frac{{12({2^{3k}}-1)}}{7}=\frac{{12({2^{\frac{3}{2}n}}-1)}}{7}$.…(10分)
當n=2k-1(k∈N*)時,Sn=S2k-1=S2k-d2k=$\frac{{12({2^{3k}}-1)}}{7}-{2^{3k}}$=$\frac{{5•{2^{3k}}-12}}{7}$=$\frac{{5•{2^{\frac{3(n+1)}{2}}}-12}}{7}$.…(12分)
綜上,${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{5•{2^{\frac{3(n+1)}{2}}}-12}}{7},n為奇數(shù)\\ \frac{{12({2^{\frac{3}{2}n}}-1)}}{7},n為偶數(shù).\end{array}\right.$…(13分)
解法二:當n=2k(k∈N*)時,Sn=d1+d2+d3+…+d2k=(c1+c2+…+c3k)-(c1+c4+…+c3k-2)…(7分)
=(21+22+…+23k)-(21+24+…+23k-2)=$\frac{{2-{2^{3k}}•2}}{1-2}-\frac{{2-{2^{3k-2}}•{2^3}}}{{1-{2^3}}}$…(9分)
=$\frac{{6•{2^{3k+1}}-12}}{7}=\frac{{12({2^{\frac{3}{2}n}}-1)}}{7}$.…(10分)
當n=2k-1(k∈N*)時,Sn=S2k-1=S2k-c3k=$\frac{{6•{2^{3k+1}}-12}}{7}-{2^{3k}}$=$\frac{{5•{2^{\frac{3(n+1)}{2}}}-12}}{7}$.…(12分)
綜上,${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{5•{2^{\frac{3(n+1)}{2}}}-12}}{7},n為奇數(shù)\\ \frac{{12({2^{\frac{3}{2}n}}-1)}}{7},n為偶數(shù).\end{array}\right.$…(13分)
點評 本題考查數(shù)列求和的方法,提出公司的求法,考查轉化思想以及計算能力.
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A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 3 | D. | $\sqrt{2}+1$ |
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A. | {x|0<x<2} | B. | {x|1<x≤2} | C. | {x|0≤x≤1或x≥2} | D. | {x|0≤x≤1或x>2} |
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