Question

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)．　
（1）求證：EF∥面ABC₁D₁
（2）求證EF∥BD₁．
（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

證明：（1）∵E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)
∴EF∥BD₁且EF=BD₁
∵BD₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁
∴EF∥面ABC₁D₁
（2））∵E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)
∴EF∥BD₁
（3）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁
∴B₁C⊥平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴B₁C⊥EF
又∵EF⊥FC
∴EF⊥平面FCB₁
∵EF=BD₁
∴EF=
∵FC⊥平面BDD₁B₁
∴FC⊥FB₁
又∵在棱長(zhǎng)為2的正方體中
∴FC=，F(xiàn)B1=
∴=
∴
所以三棱錐的體積為1．．
分析：（1）E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)，所以EF∥BD₁且EF=BD₁．又因?yàn)锽D₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁所以EF∥面ABC₁D₁
（2）E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)∴EF∥BD₁
（3）B₁C⊥EF且EF⊥FC所以EF⊥平面FCB₁，所以EF=，因?yàn)镕C=，F(xiàn)B₁=所以．
點(diǎn)評(píng)：證明線面平行即在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行；證明線線平行的方法有證明線面平行，中位線，平行四邊形等方法，在這里運(yùn)用了中位線也是我們常見的一種方法；求三棱錐的體積關(guān)鍵是找到合適的高與底面，即換一個(gè)頂點(diǎn)．