Question

已知A（1，）是離心率為的橢圓E：+=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，過A作兩條直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，若直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）試證明直線BC的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；
（3）△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值？若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用A（1，）是離心率為的橢圓E：+=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，確定B，C的坐標(biāo)，即可求出直線BC的斜率為定值；
（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定三角形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率為，∴，∴a²=2b²
∴橢圓方程為
∵A（1，）是橢圓上的點(diǎn)，
∴
∴b²=2
∴橢圓方程為；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程可得（k²+2）x²-x+（）=0，∵x=1是方程的一個(gè)實(shí)根，
∴由韋達(dá)定理得，1+x_B=，故x_B=，
∴=，
∴B（，），
∵AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，故其斜率互為相反數(shù)，用-k代替k可得
C（，），∴==
（3）解：設(shè)BC的方程為y=x+m，由可得，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，于是|BC|=•=，
又A（1，）到直線BC的距離為d=，
∴••=•≤=，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4時(shí)等號成立，故△ABC的面積的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．