Question

19．為了減少能源損耗，某工廠需要給生產(chǎn)車間建造可使用20年的隔熱層．已知建造該隔熱層每厘米厚的建造成本為3萬元．該生產(chǎn)車間每年的能源消耗費用M（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：厘米）滿足關(guān)系：M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為7.5萬元，設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用只和．
（1）求k的值及f（x）的表達式；
（2）試問當隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最少？并求出最少費用．

Answer 1

分析 （1）由建筑物每年的能源消耗費用M（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為7.5萬元．可得M（0）=7.5，得k=15，進而得到M（x）=$\frac{15}{x+2}$．建造費用為M₁（x）=3x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），即可得到f（x）的表達式；
（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，利用導數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出總費用f（x）的最小值．

解答 解：（1）設(shè)隔熱層厚度為x_cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），
再由M（0）=7.5，得k=15，
因此M（x）=$\frac{15}{x+2}$．
而建造費用為M₁（x）=3x，
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f（x）=20M（x）+M₁（x）=20×$\frac{15}{x+2}$+3x=$\frac{300}{x+2}$+3x（0≤x≤10）；
（2）f′（x）=3-$\frac{300}{（x+2）^{2}}$，令f'（x）=0，
解得x=8，或x=-12（舍去）．
當0＜x＜8時，f′（x）＜0，當8＜x＜10時，f′（x）＞0，
故x=8是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為f（8）=$\frac{300}{8+2}+3×8=54$．
故當隔熱層修建8cm厚時，總費用達到最小值為54萬元．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．