Question

17．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)．
（1）共有多少個(gè)四位數(shù)？
（2）其中四位偶數(shù)有多少個(gè)？
（3）比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)？
（4））能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？
（注意：以上各小題要列出算式后再求值，否則扣分．）

Answer 1

分析 （1）先安排首位的數(shù)字，從五個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，共有C₅¹種結(jié)果，余下的五個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有A₅³種結(jié)果，根據(jù)乘法原理得到結(jié)果．
（2）要組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，則末位為0，2，4中一個(gè)，且首位不能為0，所以可用分類計(jì)數(shù)，分成三類，0在個(gè)位，2在個(gè)位，4在個(gè)位，把每類的方法數(shù)計(jì)算出來(lái)，再相加即可．
（3）當(dāng)首位是5時(shí)，其他幾個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上排列，當(dāng)首位是4時(shí)，第二位是5．后兩位沒(méi)有限制，當(dāng)前兩位是43時(shí)，分別寫出結(jié)果數(shù)（注意減去4301），相加得到結(jié)果．
（4）要組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5的倍數(shù)的五位數(shù)，則末位為0，5中一個(gè)，且首位不能為0，所以可用分類計(jì)數(shù)，分成兩類，0在個(gè)位，5在個(gè)位，把每類的方法數(shù)計(jì)算出來(lái)，再相加即可

解答 解：（1）由題意知，因?yàn)閿?shù)字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的數(shù)字，從五個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，共有C₅¹種結(jié)果，
余下的五個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有A₅³種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有A¹₅•A³₅=300；
（2）第一類：0在個(gè)位時(shí)有A₅³個(gè)；第二類：2在個(gè)位時(shí)，首位從1，3，4，5中選定1個(gè)（有A₄¹種），十位和百位從余下的數(shù)字中選（有A₄²種），于是有A₄¹A₄²個(gè)；第三類：4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有A₄¹A₄²個(gè)．
共有四位偶數(shù)：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156個(gè)．
（3）當(dāng)首位是5時(shí)，其他幾個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上排列，共有A₅³=60，
當(dāng)前兩位是45時(shí)，共有A₄³=4×3=12個(gè)，
當(dāng)前兩位是43時(shí)，共有A₄²=4×3=12個(gè)，去掉4301即可，即有12-1=11個(gè)．
根據(jù)分類加法原理得到共有：60+12+12-1=83個(gè)．
（4）個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0的五位數(shù)有A₅⁴個(gè)；個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5的五位數(shù)有A₄¹A₄³個(gè)．
故滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有A₅⁴+A₄¹A₄³=216個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題是考查排列組合問(wèn)題，是一個(gè)綜合題，包括數(shù)字問(wèn)題中可能遇到的所有情況，同學(xué)們注意分析問(wèn)題，加以比較，爭(zhēng)取做到舉一反三．