Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R），g（x）=e^x-1
（1）若直線y=0與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求a的值；
（2）設(shè)a＞0，對(duì)于?x₁，x₂∈[3，+∞）（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出a的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），設(shè)h（x）=f（x）-g（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，0），
得1+$\frac{a}{{x}_{0}}$=0得x₀=-a，
所以-a+aln（-a）=0，
所以a=-e；
（2）∵a＞0∴x∈[3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x），g（x）在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，
可化為f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
則h（x）在x∈[3，+∞）遞減，
h′（x）=1+$\frac{a}{x}$-e^x≤0在x∈[3，+∞）恒成立，
即xe^x-x≥a在x∈[3，+∞）恒成立，
設(shè)v（x）=xe^x-x，
則∵x∈[3，+∞）∴v'（x）=e^x+xe^x-1＞0，
所以v（x）=xe^x-x在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)
所以$v{（x）_{min}}=3{e^3}-3$，
∴a≤3e³-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，絕對(duì)值問(wèn)題，是一道中檔題．