Question

13．橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為$F（{0，\sqrt{50}}）$且該橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，根據(jù)直線方程求出AB中點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．再設(shè)而不求的方法求得AB的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，求出a²=3b²，聯(lián)解兩式即可得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=$\sqrt{50}$，
則a²-b²=50，①
又設(shè)直線3x-y-2=0與橢圓交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)（x₀，y₀）
∵x₀=$\frac{1}{2}$，∴代入直線方程得y₀=$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{2}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{^{2}}$=0，
∴AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=3
∵$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1，∴a²=3b²，②
聯(lián)解①②，可得a²=75，b²=25，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$；
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．