Question

14．如圖，橫梁的橫斷面是一個(gè)矩形，而橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的寬與高的平方的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則橫斷面的高和寬分別為（　　）

• A． $\sqrt{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$d，$\frac{\sqrt{6}}{3}$d
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\sqrt{3}$d

Answer 1

分析 根據(jù)橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的寬與高的平方的乘積成正比，建立關(guān)系．由勾股定理可得x²+y²=d²，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：由題意，設(shè)橫梁的強(qiáng)度為T，則T=xy²．（x＞0，y＞0）
由勾股定理可得x²+y²=d²，
可得：T=x（d²-x²）=xd²-x³．
則T′=d²-3x²．
令T′=0．
可得：x=$\fraczmnjjkj{\sqrt{3}}$或$-\frachlmqpnx{\sqrt{3}}$（舍去）．
當(dāng)$0＜x＜\fracfnsrsyb{\sqrt{3}}$時(shí)，可得T′＞0，則T是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)$x＞\frachwyyvba{\sqrt{3}}$時(shí)，可得T′＜0，則T是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴x=$\fracrzggbbj{\sqrt{3}}$時(shí)，T取得最大值，此時(shí)y=$\sqrt{ucygfje^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}d$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，利用到了導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解最值，屬于中檔題．