Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x+a，x∈[m，n]的值域為[2m，2n]，則a的取值范圍是（-∞，-2+2ln2）．

Answer 1

分析 由題意可得m，n為e^x+a=2x的兩個不等實根，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，即可判斷a的范圍

解答 解：f（x）=e^x+a在∈[m，n]上為增函數(shù)，
∴f（x）∈[e^m+a，eⁿ+a]，
∵函數(shù)f（x）=e^x+a，x∈[m，n]的值域為[2m，2n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}+a=2m}\\{{e}^{n}+a=2n}\end{array}\right.$，
∴m，n為e^x+a=2x的兩個不等實根，
即y=e^x，y=2x-a有兩個不同的交點，
設切點為（x₀，y₀），
∵y′=e^x，
∴e${\;}^{{x}_{0}}$=2
∴x₀=ln2，
∴y₀=2，
∴-a＞2-2ln2，
即a＜-2+2ln2，
故答案為：（-∞，-2+2ln2）．

點評 本題考查了函數(shù)的值域和函數(shù)的單調性以及函數(shù)零點的問題，屬于中檔題