Question

17．已知△ABC為銳角三角形，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
（1）求角A的大��；
（2）設(shè)關(guān)于角B的函數(shù)f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：2accosB=a²+c²-b²，代入b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
可得-2accosB=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，化為sin2A=$\frac{1}{2}$，A為銳角，解得A．
（2）利用倍角公式與和差公式可得：f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B═$\sqrt{3}$$sin（2B+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，根據(jù)B為銳角，即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：2accosB=a²+c²-b²，∵b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
∴-2accosB=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
化為：-2cosBsinAcosA=cos（A+C）=-cosB，
∴2sinAcosA=1，即sin2A=$\frac{1}{2}$，
∵A為銳角，∴2A=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
解得A=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．
（2）f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B
=2cosB$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$-2sin²B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+cos²B-2sin²B
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1+cos2B}{2}$+cos2B-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{3}{2}$cos2B-$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$$sin（2B+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，
∵$π＞A+B＞\frac{π}{2}$，B為銳角，∴B∈$（\frac{5π}{12}，\frac{π}{2}）$或B∈$（0，\frac{π}{12}）$．
∴（2B+$\frac{π}{3}$）∈$（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$或$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∴f（B）的值域?yàn)?（-2，-\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$或$（1，\sqrt{3}-\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理、三角函數(shù)求值、倍角公式與和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．