Question

5．若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²+4x-2y+4=0，則$\frac{y}{x}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\frac{4}{3}}]∪[{0，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{4}}]∪[{0，+∞}）$
• C． $[{-\frac{3}{4}，0}]$
• D． $[{-\frac{4}{3}，0}]$

Answer 1

分析 圓C是以C（-2，1）為圓心，r=1為半徑的圓，$\frac{y}{x}$的最值就是求過原點(diǎn)與圓上一點(diǎn)連線斜率的最值，相切時(shí)有最值，由此能求出$\frac{y}{x}$的取值范圍．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²+4x-2y+4=0，
圓心C（-2，1），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4-16}$=1，
如圖，圓C是以C（-2，1）為圓心，
r=1為半徑的圓，
過O作圓C的切線OA，OB，則OA=OB=2，
AC=BC=1，OC=$\sqrt{5}$，
tan∠AOC=$\frac{AC}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠AOB=tan2∠AOC=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴k_OB=-tan∠AOB=-$\frac{4}{3}$，k_OA=0，
∵$\frac{y}{x}$的最值就是求過原點(diǎn)與圓上一點(diǎn)連線斜率的最值，相切時(shí)有最值，
∴$\frac{y}{x}$的取值范圍是[-$\frac{4}{3}$，0]．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值的取值范圍的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．