如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(
3p
，4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在曲線C：y=-
px
，(x＞0)上，
（I）求實(shí)數(shù)p的值；
（II）若A，B為曲線C上不同兩點(diǎn)，線段PP′恰好經(jīng)過△ABP的內(nèi)心，試問：曲線C在點(diǎn)P′處的切線m是否一定平行于直線AB？請(qǐng)給以證明．
分析：（I）利用點(diǎn)P(
3p
，4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在曲線C：y=-
px
，(x＞0)上，建立方程，即可求得p的值；
（II）曲線C在點(diǎn)P′處的切線m一定平行于直線AB．設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)法，求出切線m的斜率，即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）∵點(diǎn)P(
3p
，4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在曲線C：y=-
px
，(x＞0)上，
∴-4=-
p
3p
，∴p=8或p=-8
∵x＞0，px≥0，∴p=8；
（II）曲線C在點(diǎn)P′處的切線m一定平行于直線AB，證明如下：
設(shè)PA：y=k（x-2）+4，k≥2代入y=-
8x
，消去y可得k2x2+4（2k-k2-2）x+（4-2k）2=0
∴x=2或x=
2(k-2)2
k2

∴xA=
2(k-2)2
k2

∵線段PP′恰好經(jīng)過△ABP的內(nèi)心，
∴kPA=kPB，∴用-k代換x，可得xB=
2(k+2)2
k2

∴kAB=
yA-yB
xA-xB
=-1
對(duì)y=-
8x
，求導(dǎo)得y′=-
2
x
，∴km=-1
∵直線AB與直線m不可能重合
∴曲線C在點(diǎn)P′處的切線m一定平行于直線AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的確定，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，點(diǎn)F(
p
2
，0)(p＞0)，點(diǎn)P為拋物線C：y2=2px上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離PN滿足：|PF|=|PN|+
1
2
，直線l過點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，0）（a＜0），若直線l垂直于x軸，且向量
QA
和
QB
的夾角為
π
3
，求a的值；
（3）設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線y=x+1距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC和BF交于點(diǎn)G，△BEG的外接圓為⊙H．以DA所在直線為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求以F、E為焦點(diǎn)，DC和AB所在直線為準(zhǔn)線的橢圓的方程．
（2）求⊙H的方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P（0，b），過點(diǎn)P作直線與⊙H交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），E、F為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC和BF交于點(diǎn)G，△BEG的外接圓為⊙H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P（0，b），過點(diǎn)P作直線與⊙H交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，
3
2
）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)N（0，
1
2
），求|MN|的最大值．
（3）過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，PQ為平面α、β的交線，已知二面角α-PQ-β為直二面角，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB=kAB（k∈R*），∠BAP=45°．
（1）證明：BC⊥PQ；
（2）設(shè)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O，當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面ABC內(nèi)的射影G恰好為△ABC的重心？
（3）當(dāng)k=
6
3
時(shí)，求二面角B-AC-P的大�。�

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