設(shè)a>0,a≠1,解關(guān)于x的不等式ax4-2x2>(
1a
)a2.
分析:本題為解數(shù)型不等式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,分0<a<1和a>1兩種情況討論,再轉(zhuǎn)化為解二次型不等式.
解答:解法一原不等式可寫成ax4-2x2a-a2.①
根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),分為兩種情形討論:
(Ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí),由①式得
x4-2x2+a2<0,②
由于0<a<1時(shí),判別式
△=4-4a2>0,
所以②式等價(jià)于
③④
x2>1-
1-a2
x2<1+
1-a2
.

解③式得x<-
1-
1-a2
或x>
1-
1-a2
,
解④式得-
1+
1-a2
<x<
1+
1-a2

所以,0<a<1時(shí),原不等式的解集為
{x|-
1+
1-a2
<x<-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
<x<
1+
1-a2
}.
(Ⅱ)當(dāng)a>1時(shí),由①式得
x4-2x2+a2>0,⑤
由于a>1,判別式△<0,故⑤式對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,即得原不等式的解集為R
綜合得
當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為
{x|-
1+
1-a2
<x<-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
<x<
1+
1-a2
};
當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為R.
解法二原不等式可寫成ax4-2x2a-a2.①
(Ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí),由①式得
x4-2x2+a2<0,②
分解因式得(x2-1+
1-a2
)(x2-1-
1-a2
)<0.③
④⑤
x2-1+
1-a2
>0
x2-1-
1-a2
<0

⑥⑦
x2-1+
1-a2
<0
x2-1-
1-a2
>0.

解由④、⑤組成的不等式組得
-
1+
1-a2
<x<-
1-
1-a2

1-
1-a2
<x<
1+
1-a2

由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集;所以,0<a<1時(shí),原不等式的解集為
{x|-
1+
1-a2
<x<-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
<x<
1+
1-a2
};
(Ⅱ)當(dāng)a>1時(shí),由①式得
x4-2x2+a2>0,⑧
配方得(x2-1)2+a2-1>0,⑨
對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式⑨都成立,即a>1時(shí),原不等式的解集為
{x|-∞<x<+∞}.
綜合得
當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為
{x|-
1+
1-a2
<x<-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
<x<
1+
1-a2
};
當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為{x|-∞<x<+∞}.
點(diǎn)評(píng):本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等知識(shí)點(diǎn),注意分類討論.
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