Question

已知f（x）=cos²x+4m[sin²（

π

4

+

x

2

）-1]，當x∈（0，

π

2

）時，有f（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：f（x）=cos²x-2+2m（sinx-1）=-（sinx-m）²+m²-2m-1，當0＜m＜1時，f(x)max=m2-2m-1＜0；當m≥1時，f（x）＜-（1-m）²+m²-2m-1=-2＜0恒成立；當m≤0時，f（x）＜-2m-1．由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：2sin2(

π

4

+

x

2

)-2=1-cos(

π

2

+x)-2=sinx-1…（2分）
f（x）=cos²x-2+2m（sinx-1）
=1-sin²x-2+2m（sinx-1）
=-（sinx-m）²+m²-2m-1…（4分）
因為x∈(0，

π

2

)，所以sinx∈（0，1），
于是當0＜m＜1時，f(x)max=m2-2m-1＜0，
解得1-

2

＜m＜1+

2

，
所以0＜m＜1，…（6分）
當m≥1時，f（x）＜-（1-m）²+m²-2m-1=-2＜0恒成立，
所以m≥1，…（9分）
當m≤0時，f（x）＜-（0-m）²+m²-2m-1，
即f（x）＜-2m-1，
于是f（x）＜-2m-1≤0，解得m≥-

1

2

，
∴-

1

2

≤m≤0，
綜上實數(shù)m的取值范圍是[-

1

2

，0]．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．