Question

已知函數f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函數f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，求a、b的值；
（2）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2，求證：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由于在x=2處的切線方程為y=7x-20，可得切點（2，-6）．f′（x）=ax²+bx-a²，f′（2）=7，f（2）=-6．聯(lián)立解得即可．
（2）由x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，可知：ax²+bx-a²=0的兩個根．利用根與系數的關系可得：b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），因此b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，利用|x₁|+|x₂|=2．可得

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x₁x₂，b2=(x1x2)2（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．設y=b²=4a²-4a³，則y′=8a-12a²，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）∵在x=2處的切線方程為y=7x-20，∴切點（2，-6）．
f′（x）=ax²+bx-a²，
∴4a+2b-a²=7，-6=

8

3

a+2b-2a2，又a＞0．
聯(lián)立解得a=3，b=2．
（2）∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，
∴x₁，x₂是ax²+bx-a²=0的兩個根，
∴x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a．
∴b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，
∵|x₁|+|x₂|=2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

+2|x1x2|=4，
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0．
∴

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x₁x₂，
∴b2=(x1x2)2（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．
設y=b²=4a²-4a³，則y′=8a-12a²，
令y′=0，又a＞0，解得a=

2

3

．
當a＞

2

3

時，y′＜0，此時函數y單調遞減；當0＜a＜

2

3

時，y′＞0，此時函數y單調遞增．
∴a=

2

3

是函數y=b²=4a²-4a³的極大值，也是最大值，為

16

27

．
∴b2≤

16

27

，
∴|b|≤

4 3

9

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．